Про расстояния, или Век живи - век учись

[polenadisto]

Век живи - век учись.

Уж сколько рассказываю на статистиках всяких, что расстояния бывают разные. И даже иногда упоминаю общую формулу расстояния Минковского, откуда остальные выводятся как частные случаи.
И даже с ученичками обсуждаем, что они сами в жизни иногда разными мерами расстояний ползуются (и даже обсуждаем, почему расстояние городских кварталов - оно манхеттенское, а не бутовское).

Но идея наглядно показать представления о равноудаленности в разных мерах почему-то в голову не приходила (благо это маленький кусочек объяснения кластерного анализа). Красота же!



Тут вам и городские кварталы (p=1), и привычное всем евклидово расстояние (р=2) и даже расстояние Чебышёва (р=∞).
Теперь буду показывать, наверное.

Comments

[chyyr.livejournal.com]

Строго говоря, при p<1 это не расстояние (не выполняется неравенство треугольника: путь в обход может быть короче прямого пути)
Такую штуку называют квазирасстоянием или квазиметрикой (semimetric).


А вообще, для любой выпуклой области, симметричной относительно начала координат, можно ввести такую функцию расстояния, чтобы эта область была шаром единичного радиуса (то есть чтобы она состояла из всех точек, удаленных от нуля на расстояние, меньшее 1)
То есть картинки можно сплющивать, перекашивать, из кругов делать эллипсы, из квадратов - параллелограммы, рисовать какие-нибудь n-угольники, правильные и не очень - и все равно это будут единичные шары в подходящих метриках.

[polenadisto.livejournal.com]

Спасибо за пояснение!
Как раз подумал, что надо бы получше с этими метриками разобраться...

А всякий невыпуклый симметричный относительно начала координат многогранник будет ли задавать квазиметрику?

[chyyr.livejournal.com]

Если пространство конечной размерности, многогранник ограничен и начало координат лежит внутри многогранника, то будет.

[2born.livejournal.com]

Какие высокие материи, однако!

[polenadisto.livejournal.com]

Только в том смысле, что пространство - форма существования материи)))