Почему дисперсия в квадрате?
Jan. 27th, 2016 03:42 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
polenadistoКогда еще в курсе теорвера рассказывают о параметрах случайных величин, как-то стороной обходят причину того, что основным параметром разброса является дисперсия, то есть средний квадрат отклонения от среднего (да, точнее говорить про математическое ожидание, чем про среднее, но тут сойдет и так).
Вначале обычно бойко доказывается, что бессмысленно использовать среднее отклонение от среднего - ибо оно равно нулю для любой случайной величины (на то оно и среднее!). После чего говорится, что вот - чтобы положительные и отрицательные величины друг с другом не аннигилировали. Правда, в итоге показатель разброса оказывается несоизмерим с самой величиной и ее средним значением: меряете вы длину - а дисперсия оказывается площадью, меряете объемы - а дисперсия вообще шестимерными гиперобъемами оказывается! Да, из дисперсии извлекают корень и получают среднеквадратичное отклонение. Но почему исходно не взять, например, модуль?! Что за прихоть математиков?
Помнится, когда я спросил своего преподавателя Мамбы на биофаке, почему не модуль - он ушел от ответа. Ну я так и оставил это дело.
Потом как-то Николай Николаевич Константинов (если кто не знает: ссылка 1 ссылка 2) на беломорской практике биокласса обронил, что, мол, дисперсия в квадрате не потому, что надо положительные и отрицательные отклонения спасти от гарантированного взаимного уничтожения - а потому что "иначе у Гаусса теория не получилась"! Я тогда почему-то вдаваться в детали не стал, но сейчас уже несколько лет разъясняю школьникам и студентам пользу именно такой странной дисперсии (как Гаусс или кто еще из отцов теорвера до этого дошел - всё еще не знаю).
Есть у дисперсии замечательное свойство: дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Проще говоря, дисперсию можно раскладывать на компоненты, объясняющие ту или иную долю общей вариации. На это строится и дисперсионный анализ, и метод главных компонент, и количественная генетика - и много чего еще!
А ведь таким свойством не обладает ни гипотетический средний модуль отклонения от среднего, не соизмеримый со средним квадратный корень из дисперсии
Вначале обычно бойко доказывается, что бессмысленно использовать среднее отклонение от среднего - ибо оно равно нулю для любой случайной величины (на то оно и среднее!). После чего говорится, что вот - чтобы положительные и отрицательные величины друг с другом не аннигилировали. Правда, в итоге показатель разброса оказывается несоизмерим с самой величиной и ее средним значением: меряете вы длину - а дисперсия оказывается площадью, меряете объемы - а дисперсия вообще шестимерными гиперобъемами оказывается! Да, из дисперсии извлекают корень и получают среднеквадратичное отклонение. Но почему исходно не взять, например, модуль?! Что за прихоть математиков?
Помнится, когда я спросил своего преподавателя Мамбы на биофаке, почему не модуль - он ушел от ответа. Ну я так и оставил это дело.
Потом как-то Николай Николаевич Константинов (если кто не знает: ссылка 1 ссылка 2) на беломорской практике биокласса обронил, что, мол, дисперсия в квадрате не потому, что надо положительные и отрицательные отклонения спасти от гарантированного взаимного уничтожения - а потому что "иначе у Гаусса теория не получилась"! Я тогда почему-то вдаваться в детали не стал, но сейчас уже несколько лет разъясняю школьникам и студентам пользу именно такой странной дисперсии (как Гаусс или кто еще из отцов теорвера до этого дошел - всё еще не знаю).
Есть у дисперсии замечательное свойство: дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Проще говоря, дисперсию можно раскладывать на компоненты, объясняющие ту или иную долю общей вариации. На это строится и дисперсионный анализ, и метод главных компонент, и количественная генетика - и много чего еще!
А ведь таким свойством не обладает ни гипотетический средний модуль отклонения от среднего, не соизмеримый со средним квадратный корень из дисперсии
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2016-01-27 03:49 pm (UTC)Например, пусть есть какая-то случайная величина со значениями на сфере. Скажем, координаты падения метеоритов на какую-то планету. Хочется найти, куда "в среднем" они падают.
Если просто взять среднее значение по обычной формуле, у нас почти всегда получится точка, лежащая под поверхностью планеты. Выходит, что "в среднем" метеориты падают внутрь планеты - что выглядит довольно странно. А вот если мы для всякой точки А на поверхности посчитаем среднеквадратичное отклонение M|X-A|^2, а потом найдем точку (или, иногда, точки), для которой(ых) оно минимально, то эта точка по определению будет лежать на поверхности. (И если вдруг каким-то чудом планета плоская, эта точка будет совпадать с обычным матожиданием)